Gruppi di Ordine Primo

Introduzione ai Gruppi: Le Fondamenta dell’Algebra Astratta

Una volta parlavo con un mio amico di Algebra astratta e ricordo che mi chiese se davvero esistesse qualcosa come l’algebra astratta. Secondo lui l’aggettivo astratta era ridondante, visto che considerava l’algebra di per sé già astratta. No. Non è così. Dovete sapere che ai matematici piace astrarre qualsiasi cosa. Ma c’è un motivo se è così ed è per dare delle definizioni formali, non assiomatiche di operazioni comuni per permettere (in algebre diverse da quelle che usiamo comunemente) di poter definire operazioni diverse ma con proprietà simili.

“Cazzo vuol dire? Parla potabile Luca.”

C’hai ragione, calmati.

A volte fa comodo sapere che gli oggeti matematici con cui lavoriamo hanno delle proprietà definite, dimostrate da teoremi.

Perché? Perché così si possono creare approcci nuovi, algoritmi, schemi e compagnia cantante senza dover dimostrare la loro fondatezza dalle basi, ma assumendo per esempio di partire con oggetti matematici noti.

Un esempio di questo genere di oggetti matematici sono i gruppi. Esiste tutto un filone di matematica chiamato Teoria dei gruppi che si occupa di dimostrare, scoprire e studiare tutto ciò che riguarda i Gruppi.

Ok ma che caz sono ’sti benedetti gruppi? E perché ci servono?

Calmati, di nuovo.

Prima di arrivare al cuore dell’argomento di questo post, i gruppi di ordine primo, conviene costruire prima una base, partendo dalla definizione stessa di gruppo.

Un gruppo è un insieme non vuoto, che possiamo chiamare come ci pare, ma chiamaremo \(G\) (che sta per \(Giancarlo\)), dotato di un’operazione binaria, che spesso indicheremo con \(\cdot\) (ma potrebbe essere +, *, o altro a seconda del contesto o di come vi svegliate la mattina. E i matematici lo fanno.). Per essere un gruppo, questa coppia \((G, \cdot)\) deve soddisfare quattro proprietà fondamentali, i cosiddetti assiomi di gruppo:

1. Chiusura: Per ogni coppia di elementi \(a\) e \(b\) appartenenti a \(G\), il risultato dell’operazione \(a \cdot b\) deve essere ancora un elemento di \(G\). In simboli: se \(a, b \in G\), allora \(a \cdot b \in G\). Questo significa che l’operazione non ci “porta fuori” dall’insieme \(G\).

2. Associatività: L’operazione deve essere associativa. Questo significa che per ogni terna di elementi \(a, b, c\) in \(G\), l’ordine in cui eseguiamo le operazioni non cambia il risultato: \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\).

3. Elemento Neutro (Identità): Esiste un elemento speciale in \(G\), che chiamiamo elemento neutro (o identità), solitamente indicato con \(e\) (o \(1\) in notazione moltiplicativa, \(0\) in notazione additiva). Questo elemento ha la proprietà che, per ogni elemento \(a\) in \(G\), \(a \cdot e = e \cdot a = a\). L’elemento neutro si comporta come un “non-operazione”.

4. Elemento Inverso: Per ogni elemento \(a\) in \(G\), esiste un altro elemento in \(G\), chiamato inverso di \(a\), che indicheremo con \(a^{-1}\) (o \(-a\) in notazione additiva). L’elemento inverso ha la proprietà che quando operato con \(a\) dà come risultato l’elemento neutro: \(a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e\).

Se un gruppo soddisfa anche la proprietà commutativa, cioè se per ogni coppia di elementi \(a, b \in G\), \(a \cdot b = b \cdot a\), allora il gruppo è detto gruppo abeliano (o commutativo). Se la proprietà commutativa non vale per tutti gli elementi, il gruppo è detto non-abeliano.

Esempi Pratici di Gruppi

Io ho già perso per strada metà dei lettori. Dico metà perché sono un inguaribile ottimista. In realtà se stai ancora leggendo forse sei l’unico che ha avuto il fegato di farlo. Quindi bravo.

Come ricompnensa, vediamo alcuni esempi un po’ più concreti:

• I numeri interi con l’addizione (\((\mathbb{Z}, +)\)): L’insieme dei numeri interi \(\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}\) con l’operazione di addizione usuale (+) forma un gruppo abeliano.
  • Chiusura: La somma di due numeri interi è sempre un numero intero. 3 + 19 = 21 dove 3, 19 e 21 \(\in \mathbb{Z}\)
  • Associatività: L’addizione è associativa: \((a + b) + c = a + (b + c)\). Roba da seconda elementare, forza, su.
  • Elemento Neutro: L’elemento neutro è lo zero (0), poiché \(a + 0 = 0 + a = a\) per ogni intero \(a\).
  • Elemento Inverso: L’inverso di un intero \(a\) è \(-a\), poiché \(a + (-a) = (-a) + a = 0\).
  • Abeliano: L’addizione è commutativa: \(a + b = b + a\).
• I numeri razionali non nulli con la moltiplicazione (\((\mathbb{Q} \setminus \{0\}, \cdot)\)): L’insieme dei numeri razionali escluso lo zero, con l’operazione di moltiplicazione usuale (\(\cdot\)), forma un gruppo abeliano.
  • Chiusura: Il prodotto di due numeri razionali non nulli è ancora un numero razionale non nullo.
  • Associatività: La moltiplicazione è associativa: \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\).
  • Elemento Neutro: L’elemento neutro è uno (1), poiché \(a \cdot 1 = 1 \cdot a = a\) per ogni razionale non nullo \(a\).
  • Elemento Inverso: L’inverso di un razionale non nullo \(a = \frac{p}{q}\) (con \(p, q \neq 0\)) è \(a^{-1} = \frac{q}{p}\).
  • Abeliano: La moltiplicazione è commutativa: \(a \cdot b = b \cdot a\).
• Il gruppo simmetrico \(S_n\) (per \(n \ge 3\)): Questo è un esempio di gruppo non-abeliano. \(S_n\) è il gruppo delle permutazioni di \(n\) oggetti, con l’operazione di composizione di funzioni. Per \(n \ge 3\), la composizione di permutazioni non è commutativa in generale.

Quindi, riassumendo un pochino: un gruppo è semplicemente l’astrazione di quello che noi usiamo ogni giorno per contare quanti soldi ci sono rimasti sul conto e scoprire di essere molto povery. Per essere definito un gruppo ha bisogno di due elementi: un insieme (non vuoto altrimenti grazie al cazzo) e un’operazione binaria (operazione binaria=tra due operandi). Facile no? Ecco, adesso complichiamo le cose.

Ordine di un Gruppo e di un Elemento

Innanzitutto introduciamo un nuovo termine: l’ordine. L’ordine può essere definito sia sul gruppo nella sua interezza, sia solo sull’elemento.

• L’ordine di un gruppo \(G\), indicato con \(|G|\), non è altro che il numero di elementi contenuti nell’insieme \(G\). Se il numero di elementi è finito, si dice che il gruppo è finito, altrimenti è infinito (minchia, la fantasia dei matematici eh!?). Gli esempi \((\mathbb{Z}, +)\) e \((\mathbb{Q} \setminus \{0\}, \cdot)\) sono gruppi infiniti, mentre il gruppo simmetrico \(S_n\) è un gruppo finito di ordine \(n!\).

• L’ordine di un elemento \(g\) in un gruppo \(G\) è il più piccolo intero positivo \(k\) tale che \(g^k = e\), dove \(e\) è l’elemento neutro del gruppo e \(g^k\) indica l’operazione di \(g\) con se stesso \(k\) volte (ad esempio, in notazione moltiplicativa, \(g^k = g \cdot g \cdot ... \cdot g\) (\(k\) volte); in notazione additiva, \(kg = g + g + ... + g\) (\(k\) volte)). Se tale intero positivo non esiste, si dice che l’elemento \(g\) ha ordine infinito.

Nah nah nah nah… ferma tutto. Il primo è chiaro e semplice. Il secondo non si capisce un tubo. Fammi un esempio.

Consideriamo il gruppo \((\mathbb{Z}_4, +_4)\), che è il gruppo degli interi modulo 4 sotto l’operazione di addizione modulo 4.

Eh!?

L’elemento neutro in \((\mathbb{Z}_4, +_4)\) è lo 0, perché per ogni elemento \(a \in \mathbb{Z}_4\), si ha \(a +_4 0 = 0 +_4 a = a\). Eh vabbè fin qua.

• Cos’è \(\mathbb{Z}_4\)? È l’insieme \(\{0, 1, 2, 3\}\). Facile, ok.
• Cos’è \(+_4\)? È l’addizione modulo 4. Ad esempio, \(2 +_4 3 = 5 \pmod{4} = 1\). Eh!?

L’adidzione modulo 4 è semplicemente una addizione che quando “sfora” il 4 ricomincia da zero. Che uno può immaginare sia una roba incasinatissima e invece no, perché volendo è concettualmente simila a quello che fai dalla terza elementare quando fai le somme ma alle elementari lo chiamavi “riporto”¹. \(8+4\) quanto fa? \(12\), embé?

Sì, ma come ci siamo arrivati a far comparire una seconda cifra lì? Arriviamoci passo passo: \(8 + 1 = 9\).

Ok e fin qua…

\(9 + 1\)? Non ho più numeri a una cifra, allora cosa faccio? Ricomincio dallo zero, aggiungo uno davanti e continuo. Quindi: \(9 + 1 = 10\).

\(10 + 1 = 11\).

\(11 + 1 = 12\)

L’addizione modulo \(n\) la facciamo dalla seconda elementare senza manco saperlo

Nell’esempio di sopra il \(2\) di \(12\) si ottiene in termini di addizione modulo 10 con: \[8 +_{10} 4 = 12 \pmod{10} = 2\]

Ok, andiamo avanti.

Ora, prendiamo un elemento a caso da \(\mathbb{Z}_4\), ad esempio l’elemento 2. Vogliamo trovare l’ordine dell’elemento 2. Dobbiamo trovare il più piccolo intero positivo \(k\) tale che \(k \cdot 2 = 0\) (ricorda che in notazione additiva, \(g^k\) diventa \(k \cdot g\)). Qui, l’operazione è l’addizione modulo 4, quindi stiamo cercando il più piccolo \(k\) tale che:

\(2 +_4 2 +_4 \ldots +_4 2\) (\(k\) volte) \(= 0 \pmod{4}\)

In altre parole, stiamo cercando il più piccolo intero positivo \(k\) tale che \(k \times 2\) sia un multiplo di 4. Vediamo un po’:

• Per \(k = 1\): \(1 \cdot 2 = 2 \pmod{4} = 2 \neq 0\).
• Per \(k = 2\): \(2 \cdot 2 = 2 +_4 2 = 4 \pmod{4} = 0\).

VAMOS! L’abbiamo trovato! Il più piccolo intero positivo \(k\) per cui \(k \cdot 2 = 0 \pmod{4}\) è \(k = 2\).

Quindi, l’ordine dell’elemento 2 nel gruppo \((\mathbb{Z}_4, +_4)\) è 2.

Proviamo con un altro elemento, ad esempio l’elemento 1. Vogliamo trovare il più piccolo intero positivo \(k\) tale che \(k \cdot 1 = 0 \pmod{4}\).

• Per \(k = 1\): \(1 \cdot 1 = 1 \pmod{4} = 1 \neq 0\).
• Per \(k = 2\): \(2 \cdot 1 = 1 +_4 1 = 2 \pmod{4} = 2 \neq 0\).
• Per \(k = 3\): \(3 \cdot 1 = 1 +_4 1 +_4 1 = 3 \pmod{4} = 3 \neq 0\).
• Per \(k = 4\): \(4 \cdot 1 = 1 +_4 1 +_4 1 +_4 1 = 4 \pmod{4} = 0\).

Il più piccolo intero positivo \(k\) per cui \(k \cdot 1 = 0 \pmod{4}\) è \(k = 4\).

Quindi, l’ordine dell’elemento 1 nel gruppo \((\mathbb{Z}_4, +_4)\) è 4.

Fantastico. Finora era tutto bello e semplice. Ora scendiamo un po’ nell’abisso.

Gruppi Ciclici e Generatori: La Chiave per i Gruppi di Ordine Primo

Un tipo speciale di gruppo, che poi è l’argomento per cui siamo qui tutti riuniti quest’oggi, è il gruppo ciclico.

Un gruppo ciclico è (formalmente) un gruppo che può essere generato da un singolo elemento. Ovvero, un gruppo \(G\) è ciclico se esiste un elemento \(g \in G\) tale che ogni elemento di \(G\) può essere espresso come una “potenza” di \(g\) (dove “potenza” significa ripetere l’operazione di gruppo). Questo elemento \(g\) è chiamato generatore del gruppo \(G\).

Ora: avete notato una cosa importante? Abbiamo usato il termini “potenza” ma specificando che vuol dire “ripere l’operazione di gruppo”. Intendevo questo quando parlavo di Algebra astratta. Non è altro che prendere l’algebra che usiamo tutti i giorni e semplicemente astrarre dei concetti e dimostrare le proprietà di quell’oggetto a prescindere che l’operazione sia l’addizione o la moltiplicazione.

Formalmente, un gruppo \(G\) è ciclico se esiste un elemento \(g \in G\) tale che:

\(G = \{g^k \mid k \in \mathbb{Z} \}\) (in notazione moltiplicativa)

oppure

\(G = \{kg \mid k \in \mathbb{Z} \}\) (in notazione additiva)

dove \(\mathbb{Z}\) rappresenta l’insieme dei numeri interi.

Conviene fare un esempio, che sento già la puzza di bruciato. Consideriamo il gruppo degli interi modulo 5 (perché se facciamo sempre con quel cazzo di 4 pensate che funziona solo col 4) con l’addizione, \((\mathbb{Z}_5, +) = \{[0], [1], [2], [3], [4]\}\). Questo è un gruppo ciclico di ordine 5. L’elemento [1] è un generatore di \(\mathbb{Z}_5\), poiché:

• \([1]^1 = [1]\)
• \([1]^2 = [1] + [1] = [2]\)
• \([1]^3 = [1] + [1] + [1] = [3]\)
• \([1]^4 = [1] + [1] + [1] + [1] = [4]\)
• \([1]^5 = [1] + [1] + [1] + [1] + [1] = [5] \equiv [0] \pmod{5}\) (elemento neutro)
• \([1]^6 = [1] + [1] + [1] + [1] + [1] + [1] = [6] \equiv [1] \pmod{5}\), e così via.

Quindi, tornando a \(\mathbb{Z}_5 = \{[0], [1], [2], [3], [4]\}\), è chiaro che partendo da [1] e sommandolo a se stesso un po’ di volte, possiamo ottenere tutti gli altri elementi. Infatti: [1], [1]+[1]=[2], [1]+[1]+[1]=[3], [1]+[1]+[1]+[1]=[4], e [1] sommato 5 volte ci ridà [0] (cioè [5] che modulo 5 fa [0]). Figo no? Questo significa che [1] è un generatore di \(\mathbb{Z}_5\).

Ma non solo [1]! Anche [2] è un generatore di \(\mathbb{Z}_5\). Proviamo: [2], [2]+[2]=[4], [2]+[2]+[2]=[6]=[1] (modulo 5), [2]+[2]+[2]+[2]=[8]=[3] (modulo 5), e [2] sommato 5 volte fa [10]=[0] (modulo 5). Anche con [2] abbiamo generato tutti gli elementi di \(\mathbb{Z}_5\)!

Ora, uno potrebbe chiedersi: ma vale sempre? È vero che [2] è un generatore di \(\mathbb{Z}_n\) per ogni \(n\) dispari? Si lascia la dimostrazione come esercizio al lettore.

Naaah! Scherzo. In realtà lo schema della dimostrazione potrebbe essere abbastanza intuitivo.

L’idea è che se \(n\) è dispari, allora 2 e \(n\) sono coprimi, cioè non hanno fattori comuni (a parte 1, ovviamente). E questo è un dettaglio FONDAMENTALE.

Cerchiamo di capirlo meglio. Quando sommiamo [2] a se stesso un po’ di volte in \(\mathbb{Z}_n\), otteniamo i multipli di [2]: [2], [4], [6], [8], [10], e così via, sempre modulo \(n\). Se 2 e \(n\) fossero “amici” e avessero un fattore comune, diciamo \(d > 1\), allora i multipli di 2 “modulo \(n\)” si ripeterebbero prima di coprire tutti gli elementi di \(\mathbb{Z}_n\). Ma se 2 e \(n\) sono coprimi, allora i multipli di 2 “modulo \(n\)” continuano a sforare e a dare resti diversi fino a quando non abbiamo generato tutti gli elementi da [0] a \([n-1]\).

Per esempio, prendiamo \(n=9\) (dispari). Partiamo da [2]: [2], [4], [6], [8], [10]=[1] (modulo 9), [12]=[3] (modulo 9), [14]=[5] (modulo 9), [16]=[7] (modulo 9), [18]=[0] (modulo 9). E voilà! Abbiamo ottenuto [0], [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], cioè tutti gli elementi di \(\mathbb{Z}_9\).

Se invece prendessimo un \(n\) pari, tipo \(n=6\), e provassimo con [2] in \(\mathbb{Z}_6\): [2], [4], [6]=[0] (modulo 6), [8]=[2] (modulo 6)… Vediamo che otteniamo solo [0], [2], [4]. Non generiamo tutto \(\mathbb{Z}_6\). Questo succede perché 2 e 6 non sono coprimi (hanno il fattore comune 2).

\[\blacksquare\]

Gruppi di Ordine Primo: Un Risultato Fondamentale

Ora arriviamo al cuore del nostro articolo: i gruppi di ordine primo. Tutti sapete cos’è un numero primo, altrimenti vi vengo a cercare e a strappare la licenza media di persona.

Comunque.

Formalmente (perché un po’ di formalità ci vuole, sennò sembra il bar dello sport): Un numero primo è un intero positivo maggiore di 1 che ha solo due divisori positivi: 1 e se stesso. Esempi di numeri primi sono 2, 3, 5, 7, 11, 13, ecc.

Un risultato fondamentale e notevole in teoria dei gruppi afferma (e rieccoci alla questione algebra astratta!):

Teorema: Ogni gruppo di ordine primo è ciclico.

Cazzo vuol dire? (Cit.)

Questo teorema ci dice che se prendiamo un gruppo \(G\) il cui ordine \(|G|\) è un numero primo \(q\), allora \(G\) è necessariamente un gruppo ciclico. Questo significa che esiste almeno un elemento \(g \in G\) che genera tutto il gruppo \(G\).

Il che è notevole. Vuol dire che possiamo prendere un gruppo \(G\) di pordine \(q\) (ricordate? prima per esempio avevamo ordine \(4\) oppure \(5\)) e possiamo avere un elemento all’interno del gruppo che genera tutti gli altri, dato un numero \(k\).

Non riesco a capire perché sei così eccitato Luca. Spiegamelo, prima che ti faccio male

Calma e sangue freddo.

Riprendiamo l’esempio di \(\mathbb{Z}_5\) e del generatore [1]. Se io vi dico che un certo elemento nel gruppo è [3], e vi dico che il generatore è [1], voi sapete subito che per ottenere [3] da [1] devo fare:

\[ [1] + [1] + [1] = [3] \qquad \text{oppure} \qquad 3 \cdot [1] = [3] \]

Ma potrei averlo ottenuto anche facendo molte più operazioni, tipo:

\[ 8 \cdot [1] = [1] + [1] + [1] + [1] + [1] + [1] + [1] + [1] = [8] = [3] \pmod{5} \]

o anche

\[ 90901291213 \cdot [1] = [90901291213] = [3] \pmod{5} \]

Ci sono infiniti modi per descrivere lo stesso elemento [3] usando il generatore [1]! Se io vi dico solo che il risultato è [3], che l’ordine del gruppo ciclico è 5 e il generatore è [1], voi non potete sapere quante volte ho applicato l’operazione, cioè quale esponente \(k\) ho usato tra gli infiniti possibili. Ed è proprio su questa “ignoranza” che si basa una valanga di algoritmi di crittografia moderni!

“Cose semplici da verificare, ma difficili da calcolare”: Verificare che \(90901291213 \cdot [1] = [3] \pmod{5}\) è facilissimo. Basta fare la divisione e vedere il resto. Ma se io vi dessi solo [3], [1] e 5, e vi chiedessi di trovare quel numero enorme \(k=90901291213\) (o uno simile), sarebbe praticamente impossibile farlo in tempi ragionevoli, soprattutto se l’ordine del gruppo fosse un numero primo enorme di centinaia di cifre!

Ecco perché questo teorema sui gruppi di ordine primo, che all’inizio sembrava solo un giochino matematico, è in realtà fondamentale per la sicurezza delle nostre comunicazioni online, delle nostre transazioni bancarie, e di un sacco di altre cose che usiamo tutti i giorni. La matematica astratta che salva il mondo, ragazzi! Chi l’avrebbe mai detto? Come? Banalmente, l’idea è che se io uso un numero segreto \(k\) per “criptare” in un certo modo con un certo algoritmo, anche se vi mostro il risultato “criptato”, indovinare \(k\) sarebbe un disastro.

Detto questo: ora dimostrazione formale del teorema e tutti a nanna.

Dimostrazione (Schema):

Sia \(G\) un gruppo di ordine primo \(q\). Consideriamo un elemento \(g \in G\) diverso dall’elemento neutro \(e\). Consideriamo il sottogruppo ciclico generato da \(g\), che indichiamo con \(\langle g \rangle = \{g^k \mid k \in \mathbb{Z} \}\). Per il teorema di Lagrange, l’ordine di un sottogruppo deve dividere l’ordine del gruppo. Quindi, l’ordine di \(\langle g \rangle\), cioè \(|\langle g \rangle|\), deve dividere l’ordine di \(G\), che è \(q\). Poiché \(q\) è primo, i divisori positivi di \(q\) sono solo 1 e \(q\).

L’ordine di \(\langle g \rangle\) non può essere 1, perché \(g \neq e\), quindi \(\langle g \rangle\) contiene almeno due elementi (\(e\) e \(g\)). Pertanto, l’unica possibilità è che \(|\langle g \rangle| = q\). Ma se l’ordine del sottogruppo generato da \(g\) è uguale all’ordine del gruppo \(G\), e \(\langle g \rangle\) è un sottogruppo di \(G\), allora deve essere che \(\langle g \rangle = G\). Questo significa che \(G\) è generato dall’elemento \(g\), e quindi \(G\) è ciclico.

Altre Conseguenze e Implicazioni:

Questo teorema ha importanti conseguenze. Se sappiamo che un gruppo ha ordine primo \(q\), sappiamo immediatamente che:

1. È ciclico: Esiste un generatore \(g \in G\) tale che ogni elemento di \(G\) è una potenza di \(g\).
2. È abeliano: Tutti i gruppi ciclici sono abeliani. Quindi, ogni gruppo di ordine primo è abeliano.
3. Struttura semplice: I gruppi ciclici sono tra i gruppi più semplici da comprendere e studiare. Il teorema ci dice che i gruppi di ordine primo, nonostante la loro apparente “rarità” (ci sono infiniti numeri primi), hanno una struttura algebrica molto ben definita e semplice.

Generatore \(g\):

Abbiamo visto che un gruppo \(G\) di ordine primo \(q\) è ciclico e ha un generatore \(g\). Questo generatore \(g\) è un elemento di \(G\) tale che “ripetendo” l’operazione di gruppo con \(g\) (con se stesso), possiamo ottenere tutti gli elementi di \(G\).

Ad esempio, se \(G\) è un gruppo di ordine 7 (7 è primo), allora esiste un elemento \(g \in G\) tale che:

\(G = \{e, g, g^2, g^3, g^4, g^5, g^6\}\)

dove \(e\) è l’elemento neutro e \(g^7 = e\). Gli esponenti sono presi modulo 7.

Unicità (a meno di isomorfismo):

Un altro risultato importante (che non dimostreremo qui perché oggettivamente mi sono scassato le balle pure io) è che esiste, a meno di isomorfismo, un solo gruppo ciclico di ordine \(n\) per ogni intero positivo \(n\). In particolare, per ogni numero primo \(q\), esiste un solo gruppo di ordine \(q\), a meno di isomorfismo. Questo gruppo è isomorfo al gruppo ciclico \(\mathbb{Z}_q = (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}, +)\), cioè gli interi modulo \(q\) con l’addizione.

Esempio:

Se consideriamo un gruppo \(G\) di ordine 3. Poiché 3 è un numero primo, sappiamo che \(G\) è ciclico e abeliano. Esiste un elemento \(g \in G\) tale che \(G = \{e, g, g^2\}\) e \(g^3 = e\). La struttura di \(G\) è completamente determinata da questa proprietà. Ogni gruppo di ordine 3 è “essenzialmente lo stesso” (isomorfo) a \(\mathbb{Z}_3 = \{[0], [1], [2]\}\) con l’addizione modulo 3.

Conclusione: La Bellezza e la Potenza dei Gruppi di Ordine Primo**

E con questo, siamo arrivati alla fine di questo viaggione nell’abisso dell’algebra astratta. Spero che abbiate capito perché questo teorema, all’apparenza così semplice, è in realtà un risultato fondamentale e potente. Ci dice che i gruppi con un numero primo di elementi non sono solo un’astrazione matematica, ma hanno una struttura incredibilmente ordinata e prevedibile: sono ciclici, sono abeliani, e sono, in un certo senso, i gruppi più “semplici” che possiamo immaginare.

Ma non è tanto la loro semplicità che deve entusiasmare. Come abbiamo visto, proprio questa struttura “semplice” e ben definita dei gruppi ciclici di ordine primo è alla base di tecnologie complesse come la crittografia moderna. La prossima volta che fate un pagamento online su onlyfans o che inviate un messaggio criptato che tanto la vostra fidanzata scoprirà comunque, pensateci: dietro le quinte, c’è l’algebra astratta, ci sono i gruppi di ordine primo, e c’è un sacco di matematica fighissima al servizio della vostra sicureza.

La teoria dei gruppi è piena di altri risultati sorprendenti e connessioni inaspettate. Questo teorema sui gruppi di ordine primo è solo un piccolo assaggio della bellezza e della potenza di questa branca della matematica. Se siete arrivati fin qui, complimenti, sinceramente!

FIN

Footnotes

1. in realtà l’analogia è un po’ azzardata e pericolante, visto che nelle operazioni modulo \(n\) si resta sempre all’interno dell’insieme iniziale. Il “riporto” nelle somme in base 10 è legato alle potenze di 10 (unità, decine, centinaia, ecc.), mentre l’addizione modulo 4 è legata ai resti della divisione per 4. Non sono esattamente la stessa cosa, anche se condividono un’idea di “superamento di una soglia” e di “ripartenza”.