Teorema di Green

La Storia Dietro la Matematica

La storia del teorema di Green inizia in uno dei contesti più improbabili nella storia della matematica: una piccola panetteria a Nottingham, Inghilterra.

George Green (1793-1841) era figlio di un fornaio e aveva un'istruzione formale minima. Frequentò la scuola per solo circa un anno tra gli 8 e i 9 anni, poi lavorò nel mulino di suo padre. Eppure questo matematico autodidatta avrebbe prodotto uno dei teoremi più importanti del calcolo vettoriale, rivoluzionario sia per la matematica pura che per la fisica.

Nel 1828, all'età di 35 anni, Green pubblicò privatamente "An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism." Quest'opera fu stampata per sottoscrizione con sole 51 copie, distribuite principalmente ad amici e gentiluomini locali. In essa, introdusse quello che oggi chiamiamo teorema di Green, insieme alle funzioni di Green e al concetto di teoria del potenziale.

La tragedia: Il lavoro di Green passò quasi completamente inosservato durante la sua vita. Fu solo nel 1845, quattro anni dopo la sua morte, che William Thomson (Lord Kelvin) scoprì una copia del saggio in un negozio di seconda mano e ne riconobbe la brillantezza. Thomson promosse immediatamente il lavoro di Green, che divenne fondamentale per la teoria elettromagnetica e la fisica matematica.

Contesto storico: Il teorema di Green emerse durante l'età d'oro della fisica matematica. Gli scienziati cercavano di comprendere elettricità, magnetismo e flusso di fluidi usando matematica rigorosa. Green realizzò che esistevano connessioni profonde tra: - Integrali di linea intorno a curve chiuse - Integrali doppi su regioni - Il comportamento dei campi vettoriali

L'intuizione rivoluzionaria: Il teorema di Green mostrava che si poteva convertire un difficile integrale doppio su una regione in un più semplice integrale di linea intorno al suo bordo (o viceversa). Questo non era solo un trucco computazionale — rivelava una profonda relazione geometrica tra ciò che accade dentro una regione e ciò che accade sul suo bordo.

Eredità: Il teorema di Green divenne il prototipo per un'intera famiglia di teoremi: - Teorema di Stokes (anni 1850): Generalizzazione a superfici 3D - Teorema della divergenza (Gauss, anni 1830-1840): Un'altra generalizzazione 3D - Teorema di Stokes generalizzato (XX secolo): Unificazione nella geometria differenziale

Oggi, il teorema di Green è fondamentale per: - Teoria elettromagnetica (equazioni di Maxwell) - Fluidodinamica (circolazione e flusso) - Analisi complessa (il teorema di Cauchy è un caso speciale) - Computer grafica (calcoli di area, rendering) - Geometria differenziale e topologia

Significato filosofico: Il teorema di Green incarna un principio profondo: il comportamento locale determina il comportamento globale (e viceversa). Ciò che accade infinitesimamente in ogni punto dentro una regione determina ciò che accade sul bordo, e il comportamento sul bordo vincola il comportamento interno. Questa idea pervade la fisica e la matematica moderne.

Perché È Importante

Il teorema di Green è fondamentale per matematica, fisica e ingegneria:

• Teoria Elettromagnetica: Calcolo di campi elettrici e magnetici, calcoli di flusso
• Fluidodinamica: Calcolo di circolazione, vorticità e portate
• Analisi Complessa: Fondamento per il teorema integrale di Cauchy e teoria dei residui
• Computer Grafica: Calcoli di area, rendering poligoni, visualizzazione campi vettoriali
• Ingegneria Strutturale: Analisi di stress e strain in strutture 2D
• Aerodinamica: Calcoli di portanza usando circolazione
• Teoria del Potenziale: Risoluzione equazioni di Laplace e Poisson
• Topologia: Calcolo di invarianti topologici
• Metodi Numerici: Metodi agli elementi finiti, metodi agli elementi di frontiera

Il teorema di Green fornisce sia un potente strumento computazionale che una profonda intuizione teorica sulla struttura del calcolo.

Prerequisiti

• Calcolo Multivariabile: Derivate Parziali, integrali multipli
• Calcolo Vettoriale: Campi vettoriali, gradiente, divergenza, rotore
• Integrali di Linea: Curve parametriche, integrali di lavoro
• Integrali Doppi: Integrazione su regioni 2D
• Curve Parametriche: Comprensione di \(\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t))\)

Concetti Fondamentali

Costruiremo il teorema di Green dai primi principi, partendo dai concetti di integrali di linea e integrali doppi.

Campi Vettoriali nel Piano

Un campo vettoriale in \(\mathbb{R}^2\) assegna un vettore a ogni punto:

\[ \mathbf{F}(x, y) = P(x, y)\mathbf{i} + Q(x, y)\mathbf{j} = \langle P(x, y), Q(x, y) \rangle \]

Esempi: - Campo gravitazionale: \(\mathbf{F}(x, y) = -\frac{GM}{r^3}\langle x, y \rangle\) dove \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\) - Campo di velocità: \(\mathbf{F}(x, y) = \langle -y, x \rangle\) (rotazione antioraria) - Campo di forza: \(\mathbf{F}(x, y) = \langle y^2, x^2 \rangle\)

Visualizzazione: In ogni punto \((x, y)\), disegna una freccia con direzione e magnitudine date da \(\mathbf{F}(x, y)\).

Integrali di Linea

Un integrale di linea misura l'"effetto accumulato" di un campo vettoriale lungo una curva.

Setup: - Curva \(C\) parametrizzata da \(\mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t) \rangle\) per \(t \in [a, b]\) - Campo vettoriale \(\mathbf{F}(x, y) = \langle P(x, y), Q(x, y) \rangle\)

Integrale di linea di \(\mathbf{F}\) lungo \(C\):

\[ \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_C P\, dx + Q\, dy = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)\, dt \]

Forma espansa:

\[ \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \left[P(x(t), y(t))\frac{dx}{dt} + Q(x(t), y(t))\frac{dy}{dt}\right] dt \]

Interpretazione fisica: - Se \(\mathbf{F}\) è un campo di forza, \(\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\) è il lavoro fatto muovendosi lungo \(C\) - Se \(\mathbf{F}\) è un campo di velocità, misura la circolazione

Integrali Doppi

Un integrale doppio somma valori su una regione 2D.

Setup: - Regione \(D\) nel piano \(xy\) - Funzione \(f(x, y)\)

Integrale doppio:

\[ \iint_D f(x, y)\, dA = \iint_D f(x, y)\, dx\, dy \]

Interpretazione geometrica: Se \(f(x, y) \geq 0\), questo è il volume sotto la superficie \(z = f(x, y)\) sopra la regione \(D\).

Orientamento e Curve Chiuse

Curva chiusa: Una curva dove il punto iniziale uguale al punto finale.

Orientamento positivo: Percorrere il bordo in senso antiorario, mantenendo la regione a sinistra.

Notazione: \(\oint_C\) denota un integrale di linea intorno a una curva chiusa con orientamento positivo.

Teorema di Green: Enunciato

Teorema di Green: Sia \(D\) una regione chiusa e limitata in \(\mathbb{R}^2\) con curva bordo \(C\) orientata in senso antiorario. Sia \(\mathbf{F}(x, y) = \langle P(x, y), Q(x, y) \rangle\) un campo vettoriale dove \(P\) e \(Q\) hanno derivate parziali continue su \(D\). Allora:

\[ \oint_C P\, dx + Q\, dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA \]

Forma alternativa usando notazione vettoriale:

\[ \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA \]

In termini di rotore: Definiamo il rotore scalare (o rotore 2D) come:

\[ \text{rot}_z \mathbf{F} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \]

Allora il teorema di Green diventa:

\[ \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_D (\text{rot}_z \mathbf{F})\, dA \]

In parole: La circolazione di \(\mathbf{F}\) intorno al bordo uguale alla "circolazione microscopica" totale (rotore) dentro la regione.

Derivazione dai Primi Principi

Dimostreremo il teorema di Green per una regione semplice, poi indicheremo come si generalizza.

Caso 1: Regione di Tipo I (Verticalmente Semplice)

Assumiamo che \(D\) sia una regione dove le linee verticali intersecano il bordo al massimo due volte:

\[ D = \{(x, y) : a \leq x \leq b,\, g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\} \]

Bordo: - Inferiore: \(C_1\) da \((a, g_1(a))\) a \((b, g_1(b))\) lungo \(y = g_1(x)\) - Superiore: \(C_2\) da \((b, g_2(b))\) a \((a, g_2(a))\) lungo \(y = g_2(x)\) - Bordo destro: linea verticale da \((b, g_1(b))\) a \((b, g_2(b))\) - Bordo sinistro: linea verticale da \((a, g_2(a))\) a \((a, g_1(a))\)

Obiettivo: Mostrare \(\oint_C P\, dx = -\iint_D \frac{\partial P}{\partial y}\, dA\)

Passo 1: Calcola l'integrale doppio.

\[ \iint_D \frac{\partial P}{\partial y}\, dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \frac{\partial P}{\partial y}\, dy\, dx \]

Passo 2: Valuta l'integrale interno usando il Teorema Fondamentale del Calcolo.

\[ \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \frac{\partial P}{\partial y}\, dy = P(x, g_2(x)) - P(x, g_1(x)) \]

Passo 3: Sostituisci indietro.

\[ \iint_D \frac{\partial P}{\partial y}\, dA = \int_a^b \left[P(x, g_2(x)) - P(x, g_1(x))\right] dx \]

Passo 4: Calcola l'integrale di linea \(\oint_C P\, dx\).

Lungo il bordo: - Curva inferiore \(C_1\): \(y = g_1(x)\), \(x\) va da \(a\) a \(b\)

$\(\int_{C_1} P\, dx = \int_a^b P(x, g_1(x))\, dx\)$

• Curva superiore \(C_2\): \(y = g_2(x)\), \(x\) va da \(b\) a \(a\) (all'indietro!)

$\(\int_{C_2} P\, dx = \int_b^a P(x, g_2(x))\, dx = -\int_a^b P(x, g_2(x))\, dx\)$

• Bordi verticali: Su questi, \(dx = 0\), quindi non contribuiscono a \(\int P\, dx\)

Passo 5: Combina.

\[ \oint_C P\, dx = \int_{C_1} P\, dx + \int_{C_2} P\, dx = \int_a^b P(x, g_1(x))\, dx - \int_a^b P(x, g_2(x))\, dx \]

\[ = -\int_a^b \left[P(x, g_2(x)) - P(x, g_1(x))\right] dx = -\iint_D \frac{\partial P}{\partial y}\, dA \]

Risultato: \(\oint_C P\, dx = -\iint_D \frac{\partial P}{\partial y}\, dA\) ✓

Caso 2: Regione di Tipo II (Orizzontalmente Semplice)

Con un argomento simile (integrando rispetto a \(x\) prima), possiamo mostrare:

\[ \oint_C Q\, dy = \iint_D \frac{\partial Q}{\partial x}\, dA \]

Combinando i Risultati

Sommando le due equazioni:

\[ \oint_C P\, dx + \oint_C Q\, dy = -\iint_D \frac{\partial P}{\partial y}\, dA + \iint_D \frac{\partial Q}{\partial x}\, dA \]

\[ \oint_C (P\, dx + Q\, dy) = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA \]

Questo è il teorema di Green! ✓

Regioni Generali

Per regioni più complesse: - Decomporre in regioni più semplici di Tipo I/II - Applicare il teorema di Green a ogni pezzo - I bordi interni si cancellano (percorsi in direzioni opposte) - Solo il bordo esterno contribuisce

Questa tecnica gestisce: - Regioni con buchi - Componenti di bordo multiple - Regioni non convesse

Interpretazioni Fisiche

Interpretazione 1: Circolazione e Rotore

Circolazione: \(\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\) misura quanto il campo vettoriale "circola" intorno al bordo.

Rotore: \(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\) misura la "rotazione microscopica" del campo in ogni punto.

Teorema di Green: La circolazione totale uguale la rotazione microscopica accumulata.

Esempio: In un fluido in rotazione, la circolazione intorno a qualsiasi curva chiusa uguale la vorticità totale (spinning locale) all'interno.

Interpretazione 2: Lavoro e Campi Conservativi

Un campo vettoriale \(\mathbf{F}\) è conservativo se \(\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 0\) per tutte le curve chiuse \(C\).

Per il teorema di Green: \(\mathbf{F}\) è conservativo se e solo se \(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0\) ovunque.

Equivalentemente: \(\mathbf{F} = \nabla f\) per qualche funzione potenziale \(f\) se e solo se \(\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}\) (uguaglianza delle derivate miste).

Forme Alternative del Teorema di Green

Forma Tangenziale (Circolazione)

\[ \oint_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{T}\, ds = \iint_D (\text{rot}_z \mathbf{F})\, dA \]

dove \(\mathbf{T}\) è il vettore tangente unitario e \(ds\) è la lunghezza d'arco.

Forma Normale (Flusso)

\[ \oint_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\, ds = \iint_D (\text{div}\, \mathbf{F})\, dA \]

dove \(\mathbf{n}\) è la normale unitaria verso l'esterno e \(\text{div}\, \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\).

Questo è il teorema della divergenza 2D!

Derivazione: Se \(C\) è parametrizzata da \(\mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t) \rangle\), allora: - Tangente: \(\mathbf{T} = \frac{1}{|\mathbf{r}'|}\langle x', y' \rangle\) - Normale verso esterno: \(\mathbf{n} = \frac{1}{|\mathbf{r}'|}\langle y', -x' \rangle\) (ruota tangente 90° orario)

Esempi Completi

Esempio 1: Calcolo di Circolazione

Problema: Calcola \(\oint_C (y^2\, dx + x^2\, dy)\) dove \(C\) è il cerchio \(x^2 + y^2 = 1\) orientato in senso antiorario.

Soluzione:

Metodo 1: Integrale di linea diretto (difficile)

Parametrizza: \(\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t \rangle\), \(t \in [0, 2\pi]\)

\[ x = \cos t,\quad y = \sin t,\quad dx = -\sin t\, dt,\quad dy = \cos t\, dt \]

\[ \oint_C y^2\, dx + x^2\, dy = \int_0^{2\pi} [\sin^2 t \cdot (-\sin t) + \cos^2 t \cdot \cos t]\, dt \]

\[ = \int_0^{2\pi} (\cos^3 t - \sin^3 t)\, dt \]

Questo integrale è complicato!

Metodo 2: Teorema di Green (elegante)

\[ P(x, y) = y^2,\quad Q(x, y) = x^2 \]

\[ \frac{\partial Q}{\partial x} = 2x,\quad \frac{\partial P}{\partial y} = 2y \]

\[ \oint_C y^2\, dx + x^2\, dy = \iint_D (2x - 2y)\, dA \]

dove \(D = \{(x, y) : x^2 + y^2 \leq 1\}\).

Converti in coordinate polari: \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\), \(dA = r\, dr\, d\theta\)

\[ \iint_D (2x - 2y)\, dA = \int_0^{2\pi} \int_0^1 2(r\cos\theta - r\sin\theta) \cdot r\, dr\, d\theta \]

\[ = 2\int_0^{2\pi} \int_0^1 r^2(\cos\theta - \sin\theta)\, dr\, d\theta \]

\[ = 2\int_0^{2\pi} (\cos\theta - \sin\theta) \left[\frac{r^3}{3}\right]_0^1 d\theta \]

\[ = \frac{2}{3}\int_0^{2\pi} (\cos\theta - \sin\theta)\, d\theta \]

\[ = \frac{2}{3}[\sin\theta + \cos\theta]_0^{2\pi} = \frac{2}{3}[(0 + 1) - (0 + 1)] = 0 \]

Risposta: \(\oint_C y^2\, dx + x^2\, dy = 0\)

Esempio 2: Calcolo di Area

Problema: Usa il teorema di Green per trovare l'area racchiusa dall'ellisse \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\).

Soluzione:

Intuizione chiave: L'area della regione \(D\) è \(A = \iint_D 1\, dA\).

Trucco: Scegli \(P\) e \(Q\) tali che \(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1\).

Scelte comuni: 1. \(P = 0, Q = x\): dà \(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - 0 = 1\) 2. \(P = -y, Q = 0\): dà \(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0 - (-1) = 1\) 3. \(P = -\frac{y}{2}, Q = \frac{x}{2}\): dà \(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}) = 1\)

Usando opzione 3 (più simmetrica):

\[ A = \iint_D 1\, dA = \oint_C -\frac{y}{2}\, dx + \frac{x}{2}\, dy = \frac{1}{2}\oint_C (x\, dy - y\, dx) \]

Parametrizza l'ellisse: \(x = a\cos t\), \(y = b\sin t\), \(t \in [0, 2\pi]\)

\[ dx = -a\sin t\, dt,\quad dy = b\cos t\, dt \]

\[ A = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} [a\cos t \cdot b\cos t - b\sin t \cdot (-a\sin t)]\, dt \]

\[ = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} (ab\cos^2 t + ab\sin^2 t)\, dt \]

\[ = \frac{ab}{2}\int_0^{2\pi} (\cos^2 t + \sin^2 t)\, dt = \frac{ab}{2}\int_0^{2\pi} 1\, dt \]

\[ = \frac{ab}{2} \cdot 2\pi = \pi ab \]

Risposta: Area dell'ellisse = \(\pi ab\) ✓

(Per un cerchio, \(a = b = r\), dando \(A = \pi r^2\).)

Esempio 3: Indipendenza dal Percorso

Problema: Mostra che \(\int_C (2xy\, dx + x^2\, dy)\) è indipendente dal percorso per qualsiasi curva \(C\) in \(\mathbb{R}^2\).

Soluzione:

\[ P(x, y) = 2xy,\quad Q(x, y) = x^2 \]

\[ \frac{\partial Q}{\partial x} = 2x,\quad \frac{\partial P}{\partial y} = 2x \]

Poiché \(\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}\) ovunque, per il teorema di Green:

\[ \oint_C (2xy\, dx + x^2\, dy) = \iint_D (2x - 2x)\, dA = 0 \]

per qualsiasi curva chiusa \(C\).

Quindi: L'integrale è indipendente dal percorso.

Trovare il potenziale: Poiché \(\mathbf{F} = \langle 2xy, x^2 \rangle\) è conservativo, esiste \(f\) tale che \(\nabla f = \mathbf{F}\).

\[ \frac{\partial f}{\partial x} = 2xy \quad \Rightarrow \quad f(x, y) = x^2 y + g(y) \]

\[ \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + g'(y) = x^2 \quad \Rightarrow \quad g'(y) = 0 \quad \Rightarrow \quad g(y) = C \]

Funzione potenziale: \(f(x, y) = x^2 y + C\)

Verifica: \(\nabla f = \langle 2xy, x^2 \rangle = \mathbf{F}\) ✓

Connessione con l'Analisi Complessa

Nell'analisi complessa, il teorema di Green porta direttamente al teorema di Cauchy.

Funzione complessa: \(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\) dove \(z = x + iy\)

Integrale di linea complesso:

\[ \oint_C f(z)\, dz = \oint_C (u + iv)(dx + i\, dy) = \oint_C (u\, dx - v\, dy) + i\oint_C (v\, dx + u\, dy) \]

Applica il teorema di Green a ogni parte:

\[ \oint_C f(z)\, dz = \iint_D \left(-\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}\right) dA + i\iint_D \left(\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y}\right) dA \]

Se \(f\) è analitica (olomorfa), soddisfa le equazioni di Cauchy-Riemann:

\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y},\quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \]

Allora entrambi gli integrandi si annullano:

\[ \oint_C f(z)\, dz = 0 \]

Questo è il teorema di Cauchy!

Errori Comuni e Misconcezioni

1. Orientamento sbagliato: Il teorema di Green richiede orientamento antiorario. L'orario dà il negativo.

2. Dimenticare la regione: Il teorema di Green si applica alla regione racchiusa dalla curva, non a qualsiasi regione.

3. Discontinuità: Se \(P\) o \(Q\) hanno discontinuità dentro \(D\), il teorema di Green potrebbe non applicarsi direttamente (bisogna escludere punti singolari).

4. Derivate parziali miste: L'ordine conta: è \(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\), non il contrario.

5. Non verificare semplicemente connesso: Per l'indipendenza dal percorso, la regione deve essere semplicemente connessa (senza buchi). Esempio: \(\mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\langle -y, x \rangle\) soddisfa \(\text{rot}_z \mathbf{F} = 0\) ovunque tranne l'origine, ma \(\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \neq 0\) intorno a un cerchio contenente l'origine.

Variabili e Simboli

Simbolo	Nome	Descrizione
\(D\)	Regione	Regione limitata in \(\mathbb{R}^2\)
\(C\)	Curva bordo	Bordo di \(D\), orientato antiorario
\(\mathbf{F}\)	Campo vettoriale	\(\langle P(x,y), Q(x,y) \rangle\)
\(P(x, y)\)	Prima componente	Componente \(x\) di \(\mathbf{F}\)
\(Q(x, y)\)	Seconda componente	Componente \(y\) di \(\mathbf{F}\)
\(\oint_C\)	Integrale linea chiuso	Integrale di linea intorno curva chiusa
\(\iint_D\)	Integrale doppio	Integrazione su regione \(D\)
\(\text{rot}_z \mathbf{F}\)	Rotore scalare	\(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\)
\(dA\)	Elemento di area	\(dx\, dy\)

Concetti Correlati

• Teorema di Stokes — Generalizzazione 3D del teorema di Green
• Teorema della Divergenza — Relaziona flusso e divergenza
• Integrali di Linea — Fondamento per teorema di Green
• Campi Vettoriali — Dominio del teorema di Green
• Rotore — Misura densità di circolazione
• Campi Vettoriali Conservativi — Campi con rotore zero
• Teorema di Cauchy — Applicazione in analisi complessa

Riferimenti Storici e Moderni

• Green, G. (1828). An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism. Nottingham.
• Katz, V. (2009). A History of Mathematics: An Introduction (3rd ed.). Addison-Wesley.
• Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals (8th ed.). Cengage Learning. [Capitolo 16]
• Marsden, J. E., & Tromba, A. J. (2011). Vector Calculus (6th ed.). W. H. Freeman.
• Spivak, M. (1965). Calculus on Manifolds. Westview Press.
• Rudin, W. (1976). Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.). McGraw-Hill.